Как да използвате Монте Карло симулация с gbm

Един от най-често срещаните начини за оценка на риска е използването на симулация от Монте Карло (MCS). Например, за да изчислим стойността на риск (VaR) на портфейл, можем да стартираме симулация в Монте Карло, която се опитва да прогнозира най-лошата вероятна загуба за портфейл, даден интервал на доверие през определен времеви хоризонт (винаги трябва да посочваме две условия за VaR: увереност и хоризонт)., ще разгледаме основен MCS, приложен към цената на акциите, използвайки един от най-разпространените модели във финансите: геометрично броунианско движение (GBM). Следователно, докато симулацията в Монте Карло може да се отнася до вселена от различни подходи към симулацията, тук ще започнем с най-основните.

Къде да започна

Симулация в Монте Карло е опит да се предскаже бъдещето многократно. В края на симулацията хиляди или милиони „случайни изпитвания“ произвеждат разпределение на резултатите, които могат да бъдат анализирани. Основните стъпки са следните:

1. Посочете модел (например GBM)

За тази статия ще използваме Geometric Brownian Motion (GBM), което технически е марковски процес. Това означава, че цената на акциите следва случайно стъпало и е в съответствие с (най-малкото) слабата форма на ефективната пазарна хипотеза (EMH) - предишната информация за цените вече е включена и следващото движение на цените е "условно независимо" от миналото движение на цените.

Формулата за GBM ще намерите по-долу:

$\begin{matrix} \frac{Δ С}{С} = μ Δ T + σ ε \sqrt{Δ T} \\ където: \\ С = цената на акциите \\ Δ С = промяната в цената на акциите \\ μ = очакваната възвръщаемост \\ σ = стандартното отклонение на възвръщаемостта \\ ε = случайната променлива \end{matrix} \ начало {подравнено} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {където:} \ & S = \ текст {цената на акциите} \ & \ Delta S = \ текст {промяната на цената на акциите} \ & \ mu = \ текст {очакваната възвръщаемост} \ & \ sigma = \ текст {стандартното отклонение на връща} \ & \ epsilon = \ текст {случайната променлива} \ & \ Delta t = \ текст {изтекъл период от време} край {подравнен}$ SΔS = μΔt + σϵΔt, където: S = цената на акциитеΔS = промяната в цената на акциитеμ = очакваната възвръщаемост = стандартното отклонение на възвръщаемосттаϵ = случайната променлива

Ако пренаредим формулата за решаване само за промяната на цената на акциите, виждаме, че GBM казва, че промяната в цената на акциите е цената на акциите "S", умножена по двата термина, намерени вътре в скобите по-долу:

$Δ С = С \times (μ Δ T + σ ε \sqrt{Δ T}) \ Delta S \ = \ S \ \ пъти ( mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)

Първият термин е „дрейф“, а вторият - „шок“. За всеки период от време, нашият модел предполага, че цената ще се „увеличава“ от очакваната възвръщаемост. Но дрейфът ще бъде шокиран (добавен или изваден) от случаен шок. Случайният шок ще бъде стандартното отклонение "s", умножено по произволно число "e". Това е просто начин за мащабиране на стандартното отклонение.

Това е същността на GBM, както е илюстрирано на Фигура 1. Цената на акциите следва серия от стъпки, където всяка стъпка е дрейф плюс или минус случаен шок (самата функция на стандартното отклонение на акцията):

2. Генериране на произволни опити

Въоръжени със спецификация на модела, след това продължаваме да провеждаме произволни изпитвания. За илюстрация използвахме Microsoft Excel за провеждане на 40 изпитания. Имайте предвид, че това е нереално малка извадка; повечето симулации или „симове“ провеждат поне няколко хиляди изпитания.

В този случай, нека приемем, че акцията започва на нула на ден с цена от 10 долара. Ето една диаграма на резултата, при която всяка стъпка (или интервал) е един ден и серията работи за десет дни (обобщено: четиридесет изпитания с ежедневни стъпки над десет дни):

Резултатът е четиридесет симулирани цени на акциите в края на 10 дни. Нито един случай не е паднал под 9 долара, а един е над 11 долара.

3. Обработете изхода

Симулацията доведе до разпределение на хипотетични бъдещи резултати. Бихме могли да направим няколко неща с изхода.

Ако например искаме да оценим VaR с 95% увереност, тогава трябва само да намерим резултата от тридесет и осмия класиран (третият най-лош резултат). Това е така, защото 2/40 се равнява на 5%, така че двата най-лоши резултата са в най-ниските 5%.

Ако подредим илюстрираните резултати в бункери (всяка кошница е една трета от $ 1, така че три кошчета покриват интервала от $ 9 до $ 10), ще получим следната хистограма:

Не забравяйте, че нашият GBM модел предполага нормалност; възвръщаемостта на цените обикновено се разпределя с очаквана възвращаемост (средно) "m" и стандартно отклонение "s". Интересното е, че нашата хистограма не изглежда нормално. Всъщност с повече изпитания няма да се стреми към нормалност. Вместо това тя ще се стреми към лонормално разпределение: рязко падане вляво от средната и силно изкривена „дълга опашка“ вдясно от средната.

Това често води до потенциално объркваща динамика за студенти от първи курс:

Възвръщаемостта на цените обикновено се разпределя. Нивата на цените са нормално разпределени.

Помислете за това по този начин: Запасите могат да върнат нагоре или надолу с 5% или 10%, но след определен период от време цената на акциите не може да бъде отрицателна. Освен това повишаването на цените в посока нагоре оказва утежняващ ефект, докато намаляването на цената при намаление намалява основата: губите 10% и следващия път оставате с по-малко загуби.

Ето диаграма на лонормалната дистрибуция, наложена върху нашите илюстрирани предположения (напр. Начална цена от $ 10):

Долния ред

Симулация в Монте Карло прилага избран модел (който конкретизира поведението на даден инструмент) към голям набор от произволни изпитвания в опит да се създаде правдоподобен набор от възможни бъдещи резултати. По отношение на симулирането на цените на акциите, най-често срещаният модел е геометричното броуновско движение (GBM). GBM приема, че постоянният дрейф е придружен от случайни сътресения. Докато периодичните възвръщаемости под GBM обикновено се разпределят, последващите ценови многопериодни (например десет дни) равнища на цените се разпределят ненормално.

Съдържание: