Оценяването на опциите може да бъде труден бизнес. Помислете за следния сценарий: През януари 2015 г. акциите на IBM се търгуваха на $ 155 и очаквате тя да нарасне през следващата една година. Вие възнамерявате да закупите опция за разговори на акциите на IBM с стачка на ATM от $ 155, като очаквате да се възползвате от висока процентна възвръщаемост, базирана на малка цена на опцията (опция премия), в сравнение с покупката на акции с висока цена на покупка.
Каква трябва да бъде справедливата стойност на тази опция за обаждане в IBM?
Днес на разположение са няколко различни готови метода за оценяване на опциите - включително модела Black-Scholes и модела на биномиално дърво - които могат да дадат бързи отговори. Но кои са основните фактори и движещите се концепции за постигане на такива модели за оценка? Може ли да се подготви нещо подобно, въз основа на концепцията на тези модели?
Тук ние обхващаме градивните елементи, основополагащите концепции и факторите, които могат да бъдат използвани като рамка за изграждане на модел за оценка на актив като опции, като предоставя съпътстващо сравнение с произхода на Black-Scholes (BS) модел.
Светът преди чернокожите
Преди Black-Scholes широко се спазва моделът за ценообразуване на капиталови активи (CAPM), базиран на равновесието. Възвръщаемостта и рисковете бяха балансирани помежду си въз основа на предпочитанията на инвеститора, т.е. очакваше се инвеститор с висок риск да бъде компенсиран с (потенциала) на по-висока възвръщаемост в подобно съотношение.
Моделът BS намира своите корени в CAPM. Според Фишър Блек: „Приложих модела за ценообразуване на капиталовите активи във всеки момент от живота на варанта, за всяка възможна цена на акциите и стойността на варанта.“ За съжаление, CAPM не успя да изпълни изискването за ценообразуване на варанта (опция).
Black-Scholes остава първият модел, основан на концепцията за арбитраж, който прави парадигма изместване от модели, базирани на риска (като CAPM). Тази нова разработка на модел на BS замени концепцията за възвръщаемост на акциите на CAPM с признаването на факта, че перфектно хеджираната позиция ще спечели безрисков процент. Това премахва вариациите на риска и възвръщаемостта и създава концепцията за арбитраж, при която оценките се извършват при предположения за концепция за неутрална спрямо риска - хеджираната (безрискова) позиция трябва да доведе до безрискова норма на възвръщаемост.
Развитието на чернокожите
Нека започнем с установяването на проблема, количественото му определяне и разработването на рамка за неговото решение. Продължаваме с нашия пример за оценяване на опцията за разговори по банкомат на IBM с цена на стачка от $ 155 с изтичане на една година.
Въз основа на основната дефиниция на опцията за разговори, освен ако цената на акциите не достигне нивото на стачката, изплащането остава нула. След това ниво изплащането се увеличава линейно (т.е. увеличение с един долар в основния ще осигури изплащане на един долар от опцията за обаждане).
Ако приемем, че купувачът и продавачът се споразумеят за справедлива оценка (включително нулева цена), теоретичната справедлива цена за тази опция за обаждане ще бъде:
- Цена на опцията за обаждане = $ 0, ако е в основата <стачка (червена графика) Опция за цена на повикване = (в основата - стачка), ако в основата> = стачка (синя графика)
Това представлява присъщата стойност на опцията и изглежда перфектно от гледна точка на купувача с опция за обаждане. В червения регион и купувачът, и продавачът имат справедлива оценка (нулева цена за продавача, нулева изплащане на купувача). Въпреки това предизвикателството за оценка започва със синия регион, тъй като купувачът има предимството на положителното изплащане, докато продавачът търпи загуба (при условие, че базовата цена надвишава цената на стачката). Тук купувачът има предимство пред продавача с нулева цена. Цената трябва да е ненулева, за да компенсира продавача за риска, който поема.
В първия случай (червена графика) теоретично, нулева цена се получава от продавача и има нулев потенциал за изплащане за купувача (справедливо и за двамата). В последния случай (синя графика) разликата между основната и стачката се заплаща от продавача на купувача. Рискът на продавача се обхваща през цялата година. Например, цената на акциите може да се движи много високо (да речем до 200 долара за четири месеца) и от продавача се изисква да плати на купувача разликата от 45 долара.
По този начин тя се свежда до:
- Дали цената на основната цена ще пресече цената на стачката? Ако това стане, колко висока може да достигне базовата цена (тъй като това ще определи изплащането на купувача)?
Това показва големия риск, поет от продавача, което води до въпроса - защо някой би продал такова обаждане, ако не получи нищо за риска, който поема?
Нашата цел е да постигнем една цена, която продавачът трябва да таксува с купувача, което може да го компенсира за общия риск, който поема за една година - както в региона на нулево плащане (червен), така и в региона на линейно плащане (син), Цената трябва да бъде справедлива и приемлива както за купувача, така и за продавача. Ако не, тогава този, който е в неизгодно положение по отношение на плащането или получаването на несправедлива цена, няма да участва на пазара, като по този начин ще победи целта на търговския бизнес. Моделът Black-Scholes има за цел да установи тази справедлива цена, като отчита постоянното изменение на цените на акциите, стойността на парите във времето, цената на опцията и времето до изтичане на опцията. Подобно на модела на BS, нека да видим как можем да подходим да оценим това за нашия пример, използвайки собствените си методи.
Как да оценим вътрешната стойност в синия регион?
Налични са няколко метода за прогнозиране на очакваното движение на цените в бъдеще през даден период от време:
- Човек може да анализира подобни движения на цените със същата продължителност в близкото минало. Историческата цена на затваряне на IBM показва, че през последната година (2 януари 2014 г. до 31 декември 2014 г.) цената е спаднала до 160, 44 долара от 185, 53 долара, спад от 13, 5%. Можем ли да заключим преместване на цените от -13.5% за IBM? По-нататъшна подробна проверка показва, че той е докоснал годишно високо ниво от 199, 21 долара (на 10 април 2014 г.) и годишно ниско ниво от 150, 5 долара (на 16 декември 2014 г.). Въз основа на тези в началния ден, 2 януари 2014 г., и цената на затваряне от $ 185, 53, процентната промяна варира от + 7, 37% до -18, 88%. Сега диапазонът на вариациите изглежда много по-широк в сравнение с изчисления по-рано спад от 13, 5%.
Подобни анализи и наблюдения върху историческите данни могат да се извършват. За да продължим разработката на модела на ценообразуване, нека приемем тази проста методология за измерване на бъдещите колебания на цените.
Да приемем, че IBM увеличава 10% всяка година (въз основа на историческите данни за последните 20 години). Основната статистика сочи, че вероятността от промяна на цените на акциите на IBM, която се движи около + 10%, ще бъде много по-висока от вероятността цената на IBM да нарасне с 20% или да спадне с 30%, като се приеме, че историческите модели се повтарят. Събирайки подобни исторически точки от данни със стойности на вероятността, общата очаквана възвръщаемост на цената на акциите на IBM в едногодишен период може да бъде изчислена като средно претеглена вероятност и свързана възвръщаемост. Да предположим, че историческите данни за цените на IBM показват следните ходове:
- (-10%) в 25% от пъти, + 10% в 35% от пъти, + 15% в 20% от пъти, + 20% в 10% от пъти, + 25% в 5% от пъти и (-15%) в 5% от пъти.
Следователно средно претеглената стойност (или очакваната стойност) достига до:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Тоест, средно, цената на акциите на IBM се очаква да се върне + 6, 5% за една година за всеки долар. Ако някой купи акциите на IBM с едногодишен хоризонт и цена на покупка от $ 155, може да се очаква нетна възвръщаемост от 155 * 6.5% = 10.075 $.
Това обаче е за възвръщаемостта на запасите. Трябва да търсим подобни очаквани възвръщаемости за опцията за обаждане.
На базата на нулево изплащане на разговора под стачката цена (съществуваща 155 долара - повикване от банкомат), всички отрицателни ходове ще генерират нулеви изплащания, докато всички положителни движения над цената на стачката ще генерират еквивалентно изплащане. Така очакваната възвръщаемост на опцията за обаждане ще бъде:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Тоест, на всеки 100 долара, инвестирани в закупуването на тази опция, може да се очаква 9, 75 долара (въз основа на горните предположения).
Това обаче все още остава ограничено до справедливата оценка на присъщата сума на опцията и не улавя правилно риска, поет от продавача на опции за високите колебания, които могат да възникнат в междинния период (в случай на гореспоменатите вътрешни години високи и ниски цени). В допълнение към присъщата стойност, каква цена може да бъде договорена от купувача и продавача, така че продавачът да бъде справедливо компенсиран за риска, който поема през едногодишната времева рамка?
Тези люлки могат да варират значително и продавачът може да има собствена интерпретация на това колко иска да бъде компенсиран за това. Моделът Black-Scholes поема европейски опции, т.е. няма упражнения преди датата на изтичане. По този начин тя остава незасегната от междинните колебания на цените и се основава на оценката си на търговски дни от край до край.
При търговията в реални дни тази променливост играе важна роля при определяне на опционните цени. Синята функция на изплащане, която обикновено виждаме, всъщност е изплащането към датата на изтичане. Реално, опционната цена (розова графика) винаги е по-висока от изплащането (синя графика), което показва цената, взета от продавача, за да компенсира способностите му за поемане на риск. Ето защо цената на опцията е известна още като опция „премия“ - по същество обозначаваща рискова премия.
Това може да бъде включено в нашия модел за оценка, в зависимост от това колко волатилност се очаква в цената на акциите и колко очаквана стойност, която би донесла.
Моделът Black-Scholes го прави ефективно (разбира се, в рамките на собствените си предположения), както следва:
C = S х N (d1) -Х х д-RTN (d2)
Моделът BS предполага лонормално разпределение на движението на цените на акциите, което оправдава използването на N (d1) и N (d2).
- В първата част S указва текущата цена на акцията. N (d1) показва вероятността от текущото движение на цените на акциите.
Ако тази опция отива в парите, което позволява на купувача да упражни тази опция, той ще получи една акция от базисните акции на IBM. Ако търговецът го упражнява днес, тогава S * N (d1) представлява очакваната днешна стойност на опцията.
Във втората част X указва цената на стачката.
- N (d2) представлява вероятността цената на акциите да бъде над стачката. Така X * N (d2) представлява очакваната стойност на цената на акциите, останала над цената на стачката.
Тъй като моделът Black-Scholes предполага опции в европейски стил, при които упражнението е възможно само в края, очакваната стойност, представена по-горе от X * N (d2), трябва да бъде дисконтирана за стойността на парите във времето. Следователно последната част се умножава с експоненциален срок, повишен до лихвения процент за периода.
Нетната разлика на двата термина показва стойността на цената на опцията към днешния ден (при което вторият срок се дисконтира)
В нашата рамка подобни движения на цените могат да бъдат включени по-точно чрез множество начини:
- По-нататъшно усъвършенстване на изчисленията за очакваната възвръщаемост чрез разширяване на обхвата до по-фини интервали, за да се включат движенията на цените през деня / в рамките на една година Включване на данните за днешния пазар, тъй като отразява активността за текущия ден (подобно на предполагаема нестабилност) да бъдат дисконтирани обратно до днешния ден за реалистични оценки и допълнително намалени от днешната стойност
Така виждаме, че няма ограничение в предположенията, методологиите и персонализирането, които да бъдат избрани за количествен анализ. В зависимост от актива, който ще бъде търгуван или инвестицията, която трябва да бъде разгледана, може да се работи със самостоятелно разработен модел. Важно е да се отбележи, че нестабилността на ценовите движения в различните класове на активи се различава много - акциите имат коса на нестабилността, форексът е нестабилност и потребителите трябва да включат приложимите модели на променливост в своите модели. Предположенията и недостатъците са неразделна част от всеки модел и знаещото приложение на модели в реални сценарии за търговия може да даде по-добри резултати.
Долния ред
Когато сложните активи навлизат на пазарите или дори обикновените ванилови активи навлизат в сложни форми на търговия, количественото моделиране и анализ става задължително за оценка. За съжаление, нито един математически модел не идва без набор от недостатъци и предположения. Най-добрият подход е да се сведе до минимум предположенията и да са наясно с подразбиращите се недостатъци, които могат да помогнат при изчертаването на линиите относно използването и приложимостта на моделите.
