Каква е теоремата на Байес?
Теоремата на Байес, кръстена на британския математик от 18 век Томас Байес, е математическа формула за определяне на условната вероятност. Теоремата предоставя начин за преразглеждане на съществуващите прогнози или теории (вероятности за актуализиране), като се предоставят нови или допълнителни доказателства. Във финансите теоремата на Байес може да се използва за оценка на риска от заемане на пари на потенциални кредитополучатели.
Теоремата на Байес се нарича още правило на Байес или закон на Байес и е в основата на областта на Байесовата статистика.
Ключови заведения
- Теоремата на Байес ви позволява да актуализирате прогнозираните вероятности за събитие чрез включване на нова информация. Теоремата на Бейс е кръстена на математика от 18-ти век Томас Байес. Често се използва във финансите при актуализиране на оценката на риска.
Формулата за теоремата на Байес е
P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A), където: P (A) = вероятността от възникване на P (B) = Вероятността B да възникнеP (A∣B) = Вероятността за даден BP (B∣A) = Вероятността B даден AP (A⋂B)) = Вероятността за възникване на A и B
Обяснена теорема на Байес
Приложенията на теоремата са широко разпространени и не се ограничават до финансовата сфера. Като пример, теоремата на Байес може да се използва за определяне на точността на резултатите от медицински тестове, като се вземе предвид колко вероятно е дадено лице да има заболяване и общата точност на теста. Теоремата на Байес разчита на включване на предварителни разпределения на вероятността, за да се генерират задни вероятности. При Байесов статистически изход преди това е вероятността за събитие преди събирането на нови данни. Това е най-добрата рационална оценка на вероятността от резултат въз основа на текущите знания преди провеждането на експеримент. Задна вероятност е преразгледаната вероятност на събитие, настъпило след отчитане на нова информация. Задната вероятност се изчислява чрез актуализиране на предварителната вероятност с помощта на теоремата на Байес. В статистически план задната вероятност е вероятността от настъпване на събитие А, като се има предвид, че е настъпило събитие Б.
Така теоремата на Байес дава вероятността за събитие въз основа на нова информация, която е или може да бъде свързана с това събитие. Формулата може да се използва и за да видите как вероятността за възникване на събитие е повлияна от хипотетична нова информация, като предположим, че новата информация ще се окаже вярна. Например, да речем, че една карта е изтеглена от цяла тесте от 52 карти. Вероятността картата да е крал е 4 разделена на 52, което е равно на 1/13 или приблизително 7, 69%. Не забравяйте, че в палубата има 4 царе. Нека предположим, че е разкрито, че избраната карта е лицева карта. Вероятността избраната карта да е крал, имайки предвид, че това е лицева карта, е 4 разделена на 12, или приблизително 33.3%, тъй като в тесте има 12 лицеви карти.
Извличане на формула на теорема на Байес с пример
Теоремата на Байес следва просто от аксиомите на условната вероятност. Условната вероятност е вероятността от събитие, като се има предвид, че се е случило друго събитие. Например, един прост въпрос за вероятността може да зададе: "Каква е вероятността от падане на цената на акциите на Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?" Условната вероятност прави този въпрос стъпка по-нататък, като задава въпроса: "Каква е вероятността падането на цената на акциите AMZN, като се има предвид, че индексът Dow Jones Industrial Average (DJIA) падна по-рано?"
Условната вероятност на A като се има предвид, че B се е случило, може да се изрази като:
Ако A е: "AMZN цената пада", тогава P (AMZN) е вероятността AMZN да падне; и B е: "DJIA вече е свален", а P (DJIA) е вероятността DJIA да падне; тогава изразът на условната вероятност се чете като "вероятността AMZN да падне при спад на DJIA е равна на вероятността AMZN цената да спадне, а DJIA намалява над вероятността от намаляване на индекса DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN и DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN и DJIA) е вероятността за възникване на А и В. Това също е същото като вероятността за възникване на A, умножена по вероятността B да се появи, като се появят A, изразени като P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Фактът, че тези два израза са равни, води до теоремата на Байес, която се записва като:
ако P (AMZN и DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
тогава P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Където P (AMZN) и P (DJIA) са вероятностите за падане на Amazon и Dow Jones, без да се вземат предвид един към друг.
Формулата обяснява връзката между вероятността на хипотезата преди да се видят доказателствата, че P (AMZN), и вероятността от хипотезата след получаване на доказателствата P (AMZN | DJIA), като се има предвид хипотеза за Amazon, дадени доказателства в Dow.
Числен пример за теоремата на Байес
Като числов пример, представете си, че има тест за наркотици, който е с 98% точност, което означава 98% от времето, когато показва истински положителен резултат за някой, който употребява наркотика, и 98% от случаите показва истински отрицателен резултат за ненузите на лекарство. На следващо място, приемете, че 0, 5% от хората използват наркотика. Ако човек е избран при случайни тестове, положителни за лекарството, може да се направи следното изчисление, за да се види дали вероятността човекът всъщност е потребител на лекарството.
(0, 98 х 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Теоремата на Байес показва, че дори ако човек е тествал положително при този сценарий, всъщност е много по-вероятно човекът да не е употребявал наркотици.
