По-умен с симулацията на Монте Карло

Във финансите съществува доста голяма несигурност и риск, свързан с оценката на бъдещата стойност на цифрите или сумите поради голямото разнообразие от потенциални резултати. Симулацията в Монте Карло (MCS) е една техника, която помага да се намали несигурността, участваща в оценката на бъдещите резултати. MCS може да се прилага за сложни, нелинейни модели или да се използва за оценка на точността и производителността на други модели. Той може също да бъде приложен в управлението на риска, управлението на портфейл, производните цени, стратегическото планиране, планирането на проекти, моделирането на разходите и други области.

дефиниция

MCS е техника, която преобразува несигурността във входните променливи на модела в разпределения на вероятностите. Чрез комбиниране на разпределения и произволен подбор на стойности от тях, преизчислява симулирания модел многократно и извежда вероятността от изхода.

Основни характеристики

MCS позволява да се използват няколко входа едновременно, за да се създаде вероятностното разпределение на един или повече изходи. Различни типове вероятностни разпределения могат да бъдат зададени на входовете на модела. Когато разпределението е неизвестно, може да бъде избрано онова, което представлява най-доброто напасване. Използването на произволни числа характеризира MCS като стохастичен метод. Случайните числа трябва да са независими; между тях не трябва да има корелация.MCS генерира изхода като диапазон вместо фиксирана стойност и показва колко вероятно е да се появи изходната стойност в диапазона.

Някои често използвани разпределения на вероятностите в MCS

Нормално / гаусско разпределение - непрекъснато разпределение, прилагано в ситуации, когато са дадени средното и стандартното отклонение, а средната стойност представлява най-вероятната стойност на променливата. Тя е симетрична около средната стойност и не е ограничена.

Лонормално разпределение - непрекъснато разпределение, определено със средно и стандартно отклонение. Това е подходящо за променлива, варираща от нула до безкрайност, с положително наклоняване и с нормално разпределен естествен логаритъм.

Триъгълно разпределение - непрекъснато разпределение с фиксирани минимални и максимални стойности. Тя е ограничена от минималните и максималните стойности и може да бъде или симетрична (най-вероятната стойност = средна = средна), или асиметрична.

Унифицирано разпределение - непрекъснато разпределение, ограничено от известни минимални и максимални стойности. За разлика от триъгълното разпределение, вероятността от възникване на стойностите между минималното и максималното е една и съща.

Експоненциално разпределение - непрекъснато разпределение, използвано за илюстриране на времето между независимите събития, при условие че степента на възникване е известна.

Математиката зад МКС

Помислете, че имаме реално оценена функция g (X) с вероятностна честотна функция P (x) (ако X е дискретна) или функция на плътността на вероятностите f (x) (ако X е непрекъсната). Тогава можем да определим очакваната стойност на g (X) в отделни и непрекъснати термини съответно:

$\begin{matrix} E (г (х)) = Σ_{- \infty}^{+ \infty} г (х) P (х), \\ където P (х) > 0 и Σ_{- \infty}^{+ \infty} P (х) = 1 \\ E (г (х)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} г (х) е (х) д х, \\ където е (х) > 0 и \int_{- \infty}^{+ \infty} е (х) д х = 1 \\ След това направете произволни рисунки на, наречени н х (х_{1}, \dots, х_{н}) \\ пробни изпълнения или симулационни работи, изчислете г (х_{1}), \dots, г (х_{н}) \end{matrix} \ Започват {съответствие} & Е (г (X)) = \ сума ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} г (х) Р (х), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ текст {където} P (x)> 0 \ текст {и} сума ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ текст {където} f (x)> 0 \ текст {и} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ текст {Напред, направете $ n $ произволни чертежи на $ X (x_1, \ ldots, x_n) $, наречени} \ & \ текст {пробни стартирания или симулация работи, изчислете $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ текст {и намерете средната стойност на $ g (x) $ от извадката:} край {съответствие}$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), където P (x)> 0 и − ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, където f (x)> 0 и ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1Напред, направете n произволни чертежи на X (x1, …, xn), calltrial run или симулационни тиражи, изчислете g (x1), …, g (xn)

$\begin{matrix} г_{н}^{μ} (х) = \frac{1}{н} Σ_{аз = 1}^{н} г (х_{аз}), което представлява крайния симулиран \\ стойност на E (г (х)), \\ Следователно г_{н}^{μ} (х) = \frac{1}{н} Σ_{аз = 1}^{н} г (х) ще бъде Монте Карло \\ оценител на E (г (х)), \\ Като н \to \infty, г_{н}^{μ} (х) \to E (г (х)), по този начин вече сме в състояние \\ изчислете дисперсията около прогнозната средна стойност с \\ безпристрастната вариация на г_{н}^{μ} (х) : \end{matrix} \ начало {подравнено} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ текст {който представлява окончателния симулиран} \ & \ текст { стойност на} E (g (X)). \\\\ & \ текст {Следователно} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {ще бъде Монте Карло} \ & \ текст {оценител на} E (g (X)). \\\\ & \ текст {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) до E (g (X)), \ текст {по този начин вече сме в състояние да} \ & \ текст {изчислим дисперсията около прогнозната средна стойност с} \ & \ текст {безпристрастна дисперсия на} g ^ \ mu_n (X) текст {:} \ & Var (г ^ \ mu_n (X)) = \ Frac {1} {п-1} сума ^ n_ {I = 1} (г (x_i) -G ^ \ mu_n (х)) ^ 2 \ край {съответствие}$ Gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi), което представлява крайната симулирана стойност на E (g (X)). Следователно gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) ще бъде Монте Карлоестиматор на E (g (X)). Тъй като n → ∞, gnμ (X) → E (g (X)), по този начин вече можем да изчислим дисперсията около прогнозната средна стойност с безпристрастна вариация на gnμ (X):

Прост пример

Как ще се отрази несигурността в единичната цена, продажбата на единица продукция и променливите разходи?

Продажби за единица авторско право) - (Променливи разходи + Фиксирани разходи)

Нека обясним несигурността във вложените данни - единична цена, единични продажби и променливи разходи - като използваме триъгълно разпределение, определено от съответните минимални и максимални стойности на вложените данни от таблицата.

Авторско право

Диаграма на чувствителността

Диаграмата за чувствителност може да бъде много полезна, когато става въпрос за анализ на ефекта на входовете върху изхода. Това казва, че продажбите на дялове представляват 62% от отклонението в симулирания EBITD, променливите разходи за 28.6% и единичната цена за 9.4%. Корелацията между единичните продажби и EBITD и между единичната цена и EBITD е положителна или увеличение на продажната единица или единичната цена ще доведе до увеличаване на EBITD. Променливите разходи и EBITD, от друга страна, са отрицателно свързани и чрез намаляване на променливите разходи ще увеличим EBITD.

Авторско право

Внимавайте, че определянето на несигурността на входната стойност чрез разпределение на вероятността, което не съответства на реалното, и вземане на проби от нея ще даде грешни резултати. Освен това предположението, че входните променливи са независими, може да не е валидно. Заблуждаващи резултати могат да дойдат от входове, които са взаимно изключващи се или ако се установи значителна корелация между две или повече входящи разпределения.

Долния ред

MCS техниката е проста и гъвкава. Тя не може да премахне несигурността и риска, но може да ги улесни разбирането чрез приписване на вероятностни характеристики на входовете и изходите на даден модел. Той може да бъде много полезен за определяне на различни рискове и фактори, които влияят на прогнозираните променливи и следователно може да доведе до по-точни прогнози. Също така имайте предвид, че броят на изпитванията не трябва да бъде твърде малък, тъй като може да не е достатъчен за симулиране на модела, което води до групиране на стойности.

Съдържание: